Como anunciamos en la introducción vamos a empezar nuestro curso desde la Física. A menos que alguien haya seguido alguna carrera de ingeniería o de ciencias, el escaso recuerdo que cada uno guarda de la Física muy probablemente sea una colección de fórmulas con una dudosa pretensión de "explicar" un manojo de fenómenos naturales. Quizás incluso algunos recuerden a un profesor escribiendo la ecuación del "MRU" en el pizarrón y afirmando con una certeza inamovible que describía a un móvil desplazándose en línea recta, sin rozamiento. Un fenómeno que resulta en verdad muy difícil observar cotidianamente.
Esto último tiene su razón de ser. Por motivos pedagógicos la enseñanza de la Física trata de seguir aproximadamente su desarrollo histórico. De esta forma, si Galileo fue el primer físico y estudió el movimiento de los cuerpos en línea recta, entonces por allí se empieza. Por otra parte, el desarrollo histórico de la ciencia sigue naturalmente la ruta de lo más sencillo a lo más complejo. Y sin duda el movimiento uniforme en línea recta es el más sencillo de los movimientos.
Nosotros vamos a avanzar un poco más, sin preocuparnos por el orden histórico y pasando por arriba las formulas detalladas. Sólo haremos uso de la matemática cuando nos pueda aportar alguna información fundamental para la comprensión de lo que estamos estudiando.
Siguiendo el la línea de la sencillez, podemos preguntarnos cuál es el movimiento más sencillo luego del movimiento rectilíneo. Sin salirnos de la recta podemos pensar en un movimiento que no implique ir a ningún sitio sino ir y venir en torno a un punto. Esto se conoce como una oscilación. Un cuerpo que oscila se mueve hacia un lado y hacia el otro pero siempre en torno a un punto. Al movimiento de oscilación (o movimiento oscilatorio) se lo conoce también como vibración. A diferencia del movimiento rectilíneo uniforme, el de oscilación puede observarse más fácilmente y sin duda se trata del tipo de movimiento más frecuente en la naturaleza.
Una característica fundamental del movimiento oscilatorio es su periodicidad. Esto es, un movimiento que se repite una y otra vez luego de un cierto intervalo de tiempo. El ejemplo físico clásico de oscilación es el de una masa unida a un resorte. Si apartamos la masa de su posición de equilibrio ésta empieza a oscilar hacia arriba y hacia abajo en torno a la posición inicial. El movimiento se repite cada cierto intervalo de tiempo fijo. Dicho intervalo se conoce como período.
Figura1. Una masa unida a un resorte apartada de su posición de equilibrio
realiza un movimiento periódico. La posición de la masa se repite cada cierto
intervalo de tiempo (período). Este tipo de oscilación corresponde a un
movimiento armónico simple.
Pensemos en otras cosas que oscilen o que vibren, ya sea solas o con la ayuda de una fuerza externa. Una puerta de vaivén, una hamaca, un péndulo, el volante de un reloj, un barco sobre las olas del mar. Si las oscilaciones son más rápidas comenzamos a llamarlas vibraciones. Cualquier objeto elástico o rígido vibra si lo golpeamos o deformamos. Por ejemplo, si apoyamos una regla de plástico en el borde de la mesa y la deformamos doblándola hacia abajo, al soltarla comenzará a vibrar. Lo mismo sucede cuando golpeamos la tapa de una cacerola (independientemente del motivo que nos haya llamado a tal protesta). El punto donde golpeamos la cacerola se deforma y luego toda la tapa vibra. Y produce sonido, claro (algunos lo llamarán ruido). De aquí sospechamos que el sonido tiene alguna relación estrecha con el movimiento oscilatorio. En verdad todo objeto capaz de producir sonido tiene una parte vibrante: la cuerda de una guitarra, el parche de un tambor, la lengueta de un bandoneón.
Pero antes de ir directamente al sonido necesitamos definir algunos términos. Volvamos a la masa suspendida del resorte. El período es el tiempo que tarda en repetirse exactamente una oscilación y lo designamos con la letra T. Es decir, si partimos de la masa en la posición más baja posible, es el tiempo que tarda en subir y volver a descender. Ese tiempo se mide en segundos. Pero muchas veces se utiliza otra medida en lugar del período: la frecuencia. La frecuencia f es una medida de cuántas oscilaciones ocurren en un segundo. Y así como la velocidad mide la rapidez de un desplazamiento, la frecuencia mide la rapidez de una oscilación. A mayor frecuencia, oscilaciones más rápidas. Sucede que el período y la frecuencia son uno el inverso del otro. Uno mide cuántos segundos transcurren durante una oscilación y la otra cuántas oscilaciones transcurren durante un segundo. Esto se expresa matemáticamente de la siguiente forma:
f=1/T T=1/f
Si el período T se mide en segundos la frecuencia f se mide en 1/s. A esta unidad se la conoce como Hertz. Si un objeto oscila con una frecuencia de f=20 Hz, entonces realiza veinte oscilaciones por segundo. Es decir, el período de la oscilación es de T=1/f=0.05 segundos.
Otra medida que caracteriza a un movimiento oscilatorio es la amplitud. Esta mide simplemente el apartamiento máximo con respecto a la posición media (o la posición de equilibrio en el caso del masa y el resorte). Si lo que oscila es un objeto la amplitud se puede medir en la unidad de longitud que nos sea más cómoda. Por ejemplo, en centímetros. ¿Por qué esta aclaración? Como veremos más adelante existen otras oscilaciones que no son objetos moviéndose hacia un lado y hacia otro.
¿Además de la frecuencia y la amplitud, qué otra cosa puede caracterizar a una oscilación? La forma en que oscila. Puede oscilar suavemente, frenando antes de llegar a su punto de máxima amplitud para luego invertir su dirección de movimiento, como la masa suspendida en el resorte. O bien puede moverse de una extremo a otro más bruscamente como una pelota de basquet bajo la mano de un jugador, que al menos durante un tiempo oscila de la mano al piso.
Por el momento vamos a estudiar los movimientos oscilatorios mas suaves. La oscilación más sencilla y suaves es la del movimiento armónico simple. El movimiento de la masa en el resorte es el ejemplo clásico de movimiento armónico. La oscilación armónica queda únicamente caracterizada por su período y amplitud. No hace falta especificar nada más si sabemos que es armónica.
El movimiento armónico tiene una expresión matemática que no podemos pasar por alto, porque es la base para lo que vamos a estudiar en este capítulo. Volviendo al ejemplo del resorte si f es la frecuencia y A la amplitud de la oscilación, la oscilación queda expresada mediante:
Y(t) = A sen (2 p f t)
Donde y es la altura de la masa, t es el tiempo, sen es la función trigonométrica seno y p es 3.141592.
Bien, pero que representa la fórmula anterior? Expresa la altura del cuerpo y suspendido en función del tiempo t. Gracias a eso, a cada tiempo t sabemos a qué altura se encuentra la masa. Conviene recordar que esa es particularmente la utilidad de una función matemática, podemos verla como una tabla de entrada y salida (a cada tiempo le corresponde una altura - pensar: por que no a la inversa??). Como toda función admite una representación gráfica. Si representamos la altura de la masa en función de el tiempo obtenemos la función seno.
Figura
2. Tres masas unidas a un resorte. Las tres oscilan en dirección vertical con
tres períodos diferentes. La de la izquierda (color negro) tiene el período
mayor dado que tarda más tiempo en completar su ciclo. La siguiente (verde)
tiene un período intermedio mientras que la de color azul es la más rápida
(período más corto). Las tres tienen la misma amplitud de oscilación. En el
gráfico de la derecha se muestra la posición de las masas en función del tiempo.
Se puede observar la forma sinusoidal. El período puede leerse en el eje
horizontal (tiempo) mientras que la amplitud es la posición máxima alcanzada.
Otra forma de ver una oscilación armónica es como la proyección de un movimiento circular uniforme sobre un eje coordenado. En la siguiente figura se representa el movimiento circular mediante una bolita en el extremo de una varilla movida por un motor. La proyección sobre el eje vertical estaría dada por la sombra que proyecta la bolita sobre una pared.
El movimiento de la sombra de la bolita corresponde exactamente a un movimiento armónico. Suponiendo que la longitud de la varilla es A y la frecuencia de giro es f, la altura de la sombra en la pared se describe con la ecuación del movimiento armónico expresada en (1).
Ahora bien, una oscilación es algo que ocurre localmente, en un punto o en las inmediaciones de un punto. Hay materiales y medios elásticos que permiten que las oscilaciones se propaguen de un punto a otro en forma de ondas.
Supongamos que nos encontramos en la orilla de un estanque y comenzamos a agitar suavemente las aguas con un movimiento vertical de nuestra mano, imitando una oscilación armónica. En la superficie del agua se formarán olas que viajarán hacia el extremo opuesto del estanque. De perfil se vería algo así:
Estas olas son ondas elásticas de superficie. Si en el centro del estanque flota un trozo de madera, cuando las olas lleguen a él comenzará a oscilar verticalmente con la misma frecuencia de las ondas. De esta forma una onda propaga una oscilación, por lo tanto movimiento (y también energía, como veremos más adelante) de un punto a otro a lo largo del medio sin que haya desplazamiento de materia. El trozo de madera comienza a moverse a causa del movimiento de nuestra mano pero sin que haya una corriente de agua que llegue hasta él (un ejemplo de cómo podemos transmitir movimiento con desplazamiento de materia se da cuando soplamos algo).
Otro ejemplo de una oscilación que se propaga de un punto a otro del medio y que tiene interés acústico es el de una cuerda tensa. Supongamos ahora que tenemos una cuerda bastante larga fija de un extremo y la tensamos con una mano del otro. Si ahora agitamos la mano verticalmente la oscilación del extremo libre se propagara a lo largo de toda la cuerda. El dibujo de como se vería la cuerda a un momento dado es:
Figura 4.
Notar el parecido con la sinusoide de la Figura 2, que representaba la posición de la masa oscilando armónicamente unida al resorte en función del tiempo. La diferencia fundamental (y que conviene empezar a distinguir desde ahora) es que mientras en la Figura 2 la sinusoide se despliega sobre el tiempo, en la Figura de la cuerda es una sinusoide en el espacio, a lo largo de la cuerda. Cada punto de la cuerda realiza una oscilación armónica. Y como la cuerda es un medio elástico (al igual que la superficie del agua) cada punto de la cuerda le transmite su oscilación al punto vecino. De esta forma la oscilación "viaja" de una punta a otra de la cuerda, y eso es lo que forma la onda.
Veamos otra representación de las ondas. En el apéndice de éste capítulo nos extendemos en la representación matemática. Pero por ahora nos limitamos a dar ejemplos e ilustraciones que ayuden a formar una intuición en el tema, sin necesidad de recurrir a más matemática que la del movimiento armónico.
Imaginemos ahora que tenemos a nuestro sistema masa-resorte pendiendo verticalmente y que le acoplamos otros sistemas idénticos a un lado y a otro hasta formar una larga cadena como se muestra en la figura.
Figura 5.
Notar que cada masa está unida con sus dos vecinas por otros resortes. Esto es un modelo de un sistema elástico. Si hacemos oscilar verticalmente la masa de un extremo se propagara una onda pues cada masa comienza a oscilar arrastrada por su vecina. Lo importante es que la oscilación no se transmite instantáneamente de una punta a otra de la cadena. Cuando una masa se mueve la de al lado lo hace con un ligero retardo o defasaje (por eso decimos que es "arrastrada"). Es decir que la oscilación se transmite con una cierta velocidad a lo largo de la cadena. Esa velocidad es lo que se conoce como la velocidad de fase de la onda. Cuando la primer masa esta en su punto más alto, la segunda esta un poco más baja pero yendo hacia arriba (arrastrada por la primer masa), la tercera un poco más abajo, y así sucesivamente hasta que una de las masas está en el punto más bajo